☛ Déterminer une limite infinie

Énoncé

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\)  définie, pour tout entier naturel  `n` , par `u_n=n+\sin(n)` .

Solution

`\forall n \in \mathbb{N}` , on a  \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\)  donc  \(n-1 \leqslant u_n \leqslant n+1\) .

En particulier,  \(\forall n \in \mathbb{N},\ n-1 \leqslant u_n\)  et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}n-1=+\infty\)  donc, d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n \to + \infty}u_n=+\infty\) .